ド・モルガンの法則（ドモルガン律）とは、論理学および集合論における重要な法則で、イギリスの数学者アウグストゥス・ド・モルガン（Augustus De Morgan）によって提唱されました。この法則は、論理式の否定を扱う際に非常に便利で、命題論理やブール代数で頻繁に使用されます。
ド・モルガンの法則の定義
ド・モルガンの法則には、2つの基本的な命題があります。これらは、論理的な「AND」と「OR」の関係において、否定の操作がどのように作用するかを示しています。
- AND（論理積）の否定
- 「AかつB」の否定は、「Aの否定またはBの否定」と等しい。
- 論理式で表すと：
[
\neg (A \land B) \equiv (\neg A) \lor (\neg B)
] - 例： 「私は雨が降っていて、かつ寒い」という命題の否定は、「雨が降っていないか、または寒くない」となる。
- OR（論理和）の否定
- 「AまたはB」の否定は、「Aの否定かつBの否定」と等しい。
- 論理式で表すと：
[
\neg (A \lor B) \equiv (\neg A) \land (\neg B)
] - 例： 「私は雨が降っているか、または寒い」という命題の否定は、「雨が降っていなくて、かつ寒くない」となる。
集合論におけるド・モルガンの法則
集合論においても同様の法則が成り立ちます。集合の補集合に関する法則として知られています。
- 積集合の補集合
- 2つの集合 (A) と (B) の積集合（共通部分）の補集合は、それぞれの集合の補集合の和集合（全体集合）に等しい。
- 数式で表すと：
[
(A \cap B)^C = A^C \cup B^C
]
- 和集合の補集合
- 2つの集合 (A) と (B) の和集合の補集合は、それぞれの集合の補集合の積集合に等しい。
- 数式で表すと：
[
(A \cup B)^C = A^C \cap B^C
]
ド・モルガンの法則の応用
- デジタル回路設計: ブール代数を基にしたデジタル回路の最適化において、論理ゲートの変換や簡略化に使われます。
- コンピュータプログラミング: 複雑な条件文の簡略化や、条件文の否定を扱う際に役立ちます。
- 数学・論理学: 証明や問題解決の際、論理式の変形において重要な役割を果たします。
ド・モルガンの法則は、論理的思考を簡略化し、複雑な論理式を理解しやすくするための非常に有用なツールです。